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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 9 - Series

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4. Utilizando el criterio que juzgue más adecuado, decida si las siguientes series son convergentes o divergentes:
d) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}}\)

Respuesta

En este caso queremos ver si la serie $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}} $ converge o diverge. Vamos a arrancar primero entendiendo que nuestra serie, cuando \(n\) sea muuuuuy grande, se va a comportar como: $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{5/2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} $ Esto no lo escribo en el parcial, va en mi hoja borrador, es lo que yo pensé y me ayudó a darme cuenta contra qué serie comparar la mía. En el parcial le lanzamos este speech directamente: Sospecho que esta serie se va a comportar igual que \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}\), que es una serie que sabemos que converge por ser una serie \(p\) con \(p > 1\). Entonces, vamos a comparar nuestra serie con \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}\) usando el criterio de comparación vía límite:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}} \cdot \frac{n^{3/2}}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)n^{3/2}}{n^{2} \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{5/2} + n^{3/2}}{n^{5/2}} = 1$
  Como el resultado del límite nos dio \(>0\), entonces el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge.
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Avatar angeles 3 de julio 21:15
hola profe, perdon por tantas preguntas, pero en el primer paso donde decis que cuando n sea muy grande se va a comportar como la otra serie, como llegas a esa conclusion??
Avatar angeles 3 de julio 21:20
y tampoco entiendo porque te quedo en la 2da serie primero el n elevado a 5/2 y despues a 3/2 >:(
Avatar Flor Profesor 4 de julio 13:43
@angeles Fijate que nuestra serie es esta:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}}$

que también la podrías escribir así, usando propiedades de potencias:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{5/2}}$

(esto es porque vos tenés $n^2 n^{1/2} = n^{2 + 1/2} = n^{5/2}$

Entonces, cuando $n$ sea muy grande, esto va a ser como tener:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{5/2}}$

porque ese 1 en el numerador ni pincha ni corta si n es muy grande jaja y ahí podés simplificar, acordate que:

$\frac{n}{n^{5/2}} = n^{1 - 5/2} = n^{-3/2} = \frac{1}{n^{3/2}}$

Por eso es que terminamos comparando nuestra serie con

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$
Avatar Valentino 3 de julio 10:11
Hola flor, porq el ultimo limite = 1? ya me olvide un poco de sucesiones y demas ajjajajaj

Avatar Flor Profesor 3 de julio 15:51
@Valentino Jajaj tranqui... fijate que si sacás factor común arriba y abajo "el que manda", o sea $n^{5/2}$, simplificas y tomas limite y te da 1
Avatar Valentino 3 de julio 17:44
okeyy, graciass

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