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y tampoco entiendo porque te quedo en la 2da serie primero el n elevado a 5/2 y despues a 3/2 >:(
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@angeles Fijate que nuestra serie es esta:
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@Valentino Jajaj tranqui... fijate que si sacás factor común arriba y abajo "el que manda", o sea $n^{5/2}$, simplificas y tomas limite y te da 1
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okeyy, graciass
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4.
Utilizando el criterio que juzgue más adecuado, decida si las siguientes series son convergentes o divergentes:
d) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}}\)
d) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}}\)
Respuesta
En este caso queremos ver si la serie
$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}}
$
converge o diverge.
Vamos a arrancar primero entendiendo que nuestra serie, cuando \(n\) sea muuuuuy grande, se va a comportar como:
$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{5/2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}
$
Esto no lo escribo en el parcial, va en mi hoja borrador, es lo que yo pensé y me ayudó a darme cuenta contra qué serie comparar la mía. En el parcial le lanzamos este speech directamente:
Sospecho que esta serie se va a comportar igual que \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}\), que es una serie que sabemos que converge por ser una serie \(p\) con \(p > 1\). Entonces, vamos a comparar nuestra serie con \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}\) usando el criterio de comparación vía límite:
Reportar problema
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}} \cdot \frac{n^{3/2}}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)n^{3/2}}{n^{2} \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{5/2} + n^{3/2}}{n^{5/2}} = 1$
Como el resultado del límite nos dio \(>0\), entonces el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge.
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angeles
3 de julio 21:15
hola profe, perdon por tantas preguntas, pero en el primer paso donde decis que cuando n sea muy grande se va a comportar como la otra serie, como llegas a esa conclusion??
angeles
3 de julio 21:20
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Flor
PROFE
4 de julio 13:43
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{2} \sqrt{n}}$
que también la podrías escribir así, usando propiedades de potencias:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n^{5/2}}$
(esto es porque vos tenés $n^2 n^{1/2} = n^{2 + 1/2} = n^{5/2}$
Entonces, cuando $n$ sea muy grande, esto va a ser como tener:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{5/2}}$
porque ese 1 en el numerador ni pincha ni corta si n es muy grande jaja y ahí podés simplificar, acordate que:
$\frac{n}{n^{5/2}} = n^{1 - 5/2} = n^{-3/2} = \frac{1}{n^{3/2}}$
Por eso es que terminamos comparando nuestra serie con
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$
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Valentino
3 de julio 10:11
Hola flor, porq el ultimo limite = 1? ya me olvide un poco de sucesiones y demas ajjajajaj
Flor
PROFE
3 de julio 15:51
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Valentino
3 de julio 17:44
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